품질경영기사 15 : 푸아송 분포

안녕하세요, 감귤소년입니다.

 

오늘은 품질경영기사 공부의 15번째 이야기인 푸아송 분포에 대한 내용입니다.

 

 

 

포아송 분포는 이벤트가 드물고 무작위인 경우 고정된 시간 또는 공간 간격에서 발생하는 이벤트 수를 모델링하는 데 사용되는 확률 분포 유형입니다. 

 

그것은 19세기 초 확률 이론에 관한 그의 연구에서 그것을 처음 소개한 프랑스 수학자 Siméon Denis Poisson의 이름을 따서 명명되었습니다. 

 

이 블로그 게시물에서는 푸아송 분포의 특성, 용도 및 다른 확률 분포와 어떻게 관련되는지 살펴보겠습니다.

푸아송 분포의 특성

푸아송 분포는 값이 정수로 제한되는 이산 확률 분포입니다. 

 

주어진 시간 또는 공간 간격에서 발생하는 예상 이벤트 수를 나타내는 단일 매개변수 λ(람다)로 정의됩니다. 

 

P(k)로 표시되는 이 간격에서 k개의 이벤트를 관찰할 확률은 다음 공식으로 제공됩니다.


P(k) = (λ^k / k!) * e^(-λ)


여기서 e는 수학 상수 2.71828...이고 k! k의 계승입니다(즉, k까지 모든 양의 정수의 곱).


푸아송 분포에는 다음과 같은 주요 특성이 있습니다.


단봉분포(unimodal distribution)로 λ 값에서 단일 피크를 갖는다.

평균(또는 기대값)은 λ와 같고 분산도 λ와 같습니다. 이는 λ가 증가함에 따라 분포의 스프레드가 증가함을 의미합니다.

푸아송 분포는 양의 편향되어 피크의 오른쪽에 더 긴 꼬리가 있음을 의미합니다.

푸아송 분포는 메모리가 없습니다. 즉, 주어진 간격에서 k개의 이벤트를 관찰할 확률이 이전 간격에서 발생한 이벤트의 수에 의존하지 않습니다.

푸아송 분포의 사용

푸아송 분포는 다음을 포함하여 다양한 분야에서 실용적으로 많이 응용됩니다.


1. 생물학: 주어진 DNA 서열에서 발생하는 돌연변이의 수, 특정 기간 동안 분열하는 세포의 수 또는 주어진 집단에서 질병에 감염된 개인의 수를 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

2. 재무: 주어진 기간 동안 발생하는 보험 청구 또는 신용 카드 거래의 수를 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

3. 품질 관리: 생산 공정의 결함 수 또는 소프트웨어 프로그램의 오류 수를 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

4. 교통 분석: 주어진 시간 동안 특정 교차로를 통과하는 자동차 수를 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

5. 스포츠: 축구 경기에서 득점한 골 수, 야구 경기에서 홈런을 친 횟수 또는 농구 경기에서 득점한 점수를 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.

이러한 모든 경우에 푸아송 분포는 희귀하고 무작위적인 사건의 기본 확률을 이해하는 데 유용한 도구입니다.

다른 확률 분포와의 관계

포아송 분포는 이항 및 정규 분포를 포함하여 다른 확률 분포와 밀접한 관련이 있습니다.


이항 분포는 각 시도가 동일한 성공 확률을 갖는 고정된 수의 독립적 시도에서 성공 수를 모델링하는 데 사용됩니다. 

 

포아송 분포는 시행 횟수가 매우 많고 성공 확률이 매우 작을 때 이항 분포의 한계로 생각할 수 있습니다. 

 

구체적으로, λ = n*p가 일정하게 유지되도록 이항 분포에서 n → ∞ 및 p → 0이라고 하면 결과 분포는 푸아송 분포에 접근합니다.


가우시안 분포라고도 하는 정규 분포는 키, 몸무게 및 테스트 점수와 같은 많은 실제 현상을 모델링하는 데 널리 사용되는 연속 확률 분포입니다. 

 

푸아송 분포는 이산 확률 분포이지만 이러한 차이에도 불구하고 중심 극한 정리라는 수학적 개념을 통해 정규 분포와 밀접한 관계가 있습니다.


중심 극한 정리는 독립적인 무작위 변수가 함께 추가될 때 결과 합계가 개별 변수의 기본 분포에 관계없이 정규 분포를 향하는 경향이 있음을 나타냅니다. 

 

즉, 많은 수의 독립적인 푸아송 분포 확률 변수를 함께 추가하면 결과 합계는 평균이 개별 평균의 합과 같고 분산이 개별 분산의 합과 같은 정규 분포에 가까워집니다. 

 

포아송 분포와 정규 분포 사이의 이러한 관계는 특정 조건에서 포아송 분포 데이터를 분석하기 위해 정규 기반 기술을 사용할 수 있기 때문에 통계적 추론에 중요합니다.

결론

결론적으로 푸아송 분포는 생물학에서 금융, 스포츠에 이르기까지 다양한 분야에서 희귀하고 무작위적인 사건을 모델링하기 위한 강력한 도구입니다. 

 

간단한 공식과 주요 특성으로 인해 쉽게 사용하고 이해할 수 있으며 다른 확률 분포와의 관계는 고급 통계 분석을 위한 기반을 제공합니다. 

 

푸아송 분포와 그 응용을 이해함으로써 우리는 우리 주변 세계의 기본 확률에 대한 더 깊은 통찰력을 얻을 수 있습니다.